Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．

（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BD，

∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，

∴BD=BC=DC=1，

∵E是CD中点，∴BE⊥DC，

∵AB∥DC，∴BE⊥AB，

∵PA⊥底面ABCD，BE平面ABCD，

∴BE⊥PA，

∵PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB，

∵BE平面PAB，∴平面PBE⊥平面PAB．

（2）解：以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则P（ ，﹣1，2），C（0， ，0），B（ ，0，0），E（0，0，0），

=（﹣ ， ，﹣2）， =（ ，0，0）， =（ ，﹣1，2），

设平面PBE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（0，2，1），

设直线PC与平面PBE所成的角为θ，

则sinθ= = = ．

∴直线PC与平面PBE所成的角的正弦值为 ．

【解析】（1）连结BD，推导出BE⊥AB，BE⊥PA，从而BE⊥平面PAB，由此能证明平面PBE⊥平面PAB．（2）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PBE所成的角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．