Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F作平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点(A在B的左侧)，若△AOB的面积为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设P是抛物线C的准线上一点，Q是抛物线上的一点，若PF⊥QF，求证：直线PQ与抛物线相切.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)见解析.

【解析】

(1)由题意可得，则|由，可得，从而可得结果；（2）设，显然时不满足题意. 当时，.又直线的方程为，将代入整理得，则或，而，则，所以，从而可得结论.

(1)由题意可得，则|AB|=2p，△AOB的面积，所以p=2，则抛物线C的方程为.

(2)证明:显然FQ的斜率存在，设为k，当k=0时，P(0,-1，Q(2,1)或(-2,1)，直线或y=-x-1，与抛物线联立，得判别式△=0，所以此时直线与抛物线C相切；当k≠0时，设直线，

因为PF⊥QF，则直线PF的方程为，

由得P(2k,- 1)，消去y得，

由Q是直线FQ与抛物线C的交点，

设，显然时不满足题意.

当时，.

又直线PQ的方程为，将，即代入整理得，

则或，而，则，

所以，故直线PQ与抛物线C相切.·