Question

下面三个命题：
①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②不等式|x-3|+|x-1|≤2的解集是[1，3]；
③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1：3；
其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①含有量词的否定分两个步骤，先改量词再改结论．
②解含有绝对值的不等式，去绝对值时要分类讨论．
③正方体的内切球，即正方体的各面都与球相切，外切球是正方体各顶点都在球的表面上．

解答： 解：①含有题词命题的否定，将存在性量词改成成全称量词，再将结论改成否定．所以①正确．
②|x-3|+|x-1|≤2?

3-x+1-x  (x＜1) 3-x+x-1≤2  (1≤x≤3) 3-3+x-1≤2  (x＞3)

?

x≥1  (x＜1) 1≤1  (1≤x≤3) x≤3  (x＞3)

?1≤x≤3．所以②正确．
③设正方体的棱长为a，则内切球半经r=

a

2

，外切球半径R=

3 a

2

，所以

S内表

S外表

=

4π( a 2 )2

4π( 3 a 2 )2

=

1

3

．所以③正确．
故答案为：①②③．

点评：命题的否定有类情况：一类是不含有量词，其否定是，把条件和结论都改成否定；一类是含有量词，其否定是，先改量词再把结论改成否定．
正方体的内切球、外切球要搞清楚球与正方体的关系，面积比等于边长比的平方．