Question

13．直线y=$\sqrt{3}$x+4与x轴和y轴的交点分别为A，B，以AB为边做等边三角形ABC，则顶点C的坐标为（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

Answer 1

分析 分别求出A，B的坐标，根据勾股定理求出AB的长度，再设C（x，y），根据三角形为等边三角形和点与点的距离公式得到方程组，解的即可．

解答 解：直线y=$\sqrt{3}$x+4与x轴和y轴的交点分别为A，B，
当x=0时，y=4，即B（0，4），
当y=0时，x=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即A（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB=4，
∴AB²=OA²+0B²=$\frac{16}{3}$+16=16×$\frac{4}{3}$=$\frac{64}{3}$
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA
设C（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{64}{3}}\\{{x}^{2}+（y-4）^{2}=\frac{64}{3}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8\sqrt{3}}{3}}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故点C的坐标为（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

点评 本题考查了直线方程和点与点的距离，以及勾股定理，属于中档题．