题目内容
7．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若|AP|=2|PB|，则椭圆的离心率是（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
分析 先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，由向量共线的坐标表示，得到a与c的关系，从而求出离心率．
解答 
解：如图，由于BF⊥x轴，
故xB=-c，yB =$\frac{{b}^{2}}{a}$，即B（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
设P（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，
∴（-a，t）=2（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$-t）．
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故选B．
点评 本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．
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