Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对应的三边，a²=b（b+c），求证：∠A=2∠B．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：利用余弦定理列出关系式，把已知等式代入，整理后利用正弦定理化简，利用正弦函数的性质变形，即可得证．

解答： 证明：由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b（b+c）=b²+c²-2bccosA，
∴（1+2cosA）bc=c²，
∴（1+2cosA）b=c，
根据正弦定理：（1+2cosA）sinB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA，
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），
∴∠B=∠A-∠B，
∴∠A=2∠B．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．