Question

15．如图，已知侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理能证明AC⊥BC．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC₁∥平面CDB₁．

解答 证明：（1）∵AC=3，AB=5，BC=4
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，

设CC₁=t，则由题意得A（3，0，0），C₁（0，0，t），C（0，0，0），
B（0，4，0），D（$\frac{3}{2}$，2，0），B₁（0，4，t），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{2}，2，0$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，t），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，t），
设平面CDB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（4，-3，$\frac{12}{t}$），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}$=0，
∵AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．

点评 本题考查两直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．