Question

7．正项数列{a_n}满足：a₁=1，S_n是其前n项之和，且S_n+1+S_n=a_n+1²，求S_n、a_n．

Answer 1

分析 利用递推可得数列{a_n}是等差数列，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵S_n+1+S_n=a_n+1²，∴当n=1时，$2{a}_{1}+{a}_{2}={a}_{2}^{2}$，∴${a}_{2}^{2}-{a}_{2}$-2=0，a₂＞0，解得a₂=2．
当n≥2时，S_n+S_n-1=${a}_{n}^{2}$．
∴a_n+1+a_n=${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$，
∵数列{a_n}是正项数列，则a_n+1+a_n＞0．
∴a_n+1-a_n=1．
又a₂-a₁=1．
因此数列{a_n}是等差数列，首项与公差都为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．