题目内容
居住在同一个小区的甲、乙、丙三位教师家离学校都较远，每天早上要开车去学校上班，已知从该小区到学校有两条路线，走线路①堵车的概率为
，不堵车的概率为
；走线路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1-p．若甲、乙两人走线路①，丙老师因其他原因走线路②，且三人上班是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率为
，求走线路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率为
| 7 |
| 16 |
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由已知条件得
•
•
•(1-p)+(
)2•p=
，由此能求出走线路②堵车的概率．
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．
| C | 1 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 16 |
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）由已知条件得
•
•
•(1-p)+(
)2•p=
．…（3分）
即3p=1，解得p=
．
答：p的值为
，即走线路②堵车的概率为
．…（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3 …（6分）
P（ξ=0）=
•
•
=
，
P（ξ=1）=
，
P（ξ=2）=
•
•
+
•
•
•
=
，
P（ξ=3）=
•
•
=
，…（8分）
ξ的分布列为：
…（10分）
所以Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
答：三人中被堵的人数ξ的数学期望为
．…（12分）
| C | 1 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 16 |
即3p=1，解得p=
| 1 |
| 3 |
答：p的值为
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3 …（6分）
P（ξ=0）=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 8 |
P（ξ=1）=
| 7 |
| 16 |
P（ξ=2）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| C | 1 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
P（ξ=3）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 48 |
ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
所以Eξ=0×
| 3 |
| 8 |
| 7 |
| 16 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 48 |
| 5 |
| 6 |
答：三人中被堵的人数ξ的数学期望为
| 5 |
| 6 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
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