Question

（本小题满分12分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

  （1）求证：平面；

  （2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，

．  ………………………1分
∵平面平面，又∵，
平面．         ……………………2分
平面，．……………3分
平面．           ………………4分
(Ⅱ)连结，
平面，
是直线与平面所成的角．………5分
设，则
，，  ………………………6分
，． 
即直线与平面所成的角为…8分
（Ⅲ）过作于，连结．  ……………………9分
平面，．平面．
是二面角的平面角．……10分
∵平面平面，平面．
．
在中，，有．
由(Ⅱ)所设可得
，，
． ………………10分
．．
∴二面角等于．     ……………………12分
解法二: ∵四边形是正方形，，
∵平面平面，平面，    ………2分
∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，
分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空
间直角坐标系．
设，则
，
      是正方形的对角线的交点，
．……………4分
（Ⅰ），，
，
，  ……………………………………4分
平面． ………………5分
（Ⅱ）平面，为平面的一个法向量，…………6分
，．……………7分
．∴直线与平面所成的角为．  ……8分
(Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，
且．
     即
取，则，则．………………10分
又∵为平面的一个法向量，且，
，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…12分