Question

是否存在实数a，使得函数y=a•cosx-cos²x+

5

8

a-

1

2

在闭区间[0，

π

2

]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：根据 y=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，结合0≤cosx≤1，利用二次函数的性质求得函数在闭区间[0，

π

2

]上的最大值，再结合在闭区间[0，

π

2

]上的最大值为1，求得a的值．

解答： 解：因为y=a•cosx-cos²x+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，
当0≤x≤

π

2

时，0≤cosx≤1，
若

a

2

＞1时，即a＞2，则当cosx=1时，y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，∴a=

20

13

＜2（舍去）
若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，则当cosx=

a

2

时，
y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，求得a=

3

2

 或a=-4＜0（舍去）a=

3

2

．
若

a

2

＜＜0，即a＜0，则当cosx=0时，y_max=

5

8

a-

1

2

=1，可得a=

12

5

＞0（舍去），
综合上述知，存在a=

3

2

符合题设．

点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．