Question

3．直线$\sqrt{3}$x+y-2=0截圆x²+y²=4得到的劣弧所对的圆周角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，利用三角函数即可得出结论．

解答 解：过O作OC⊥AB，垂足为点C，
由圆的方程x²+y²=4，得到圆心O的坐标为（0，0），半径r=2，
∵圆心到直线$\sqrt{3}$x+y-2=0的距离d=|OC|=$\frac{2}{2}$=1，
∴直线被圆截得的弦|AB|=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠AOC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=$\frac{π}{3}$，
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$．
故选D．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．