Question

8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$的值为（　　）

• A． 2
• B． $-\frac{15}{2}$
• C． $\frac{15}{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．

解答 解：如图所示，
A（$\frac{3}{2}$，0），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（-$\frac{3}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（3，0），
∴$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{1}{2}$（3，0）=（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$=-1×（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=2，
故选：A．

点评 本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．