题目内容
16．已知等边△AB′C′边长为$\sqrt{2}$，△BCD中，$BD=CD=1，BC=\sqrt{2}$（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得$AD=\sqrt{3}$（如图2所示）．
（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；
（3）求三棱锥A-BCD的外接球的表面积．
分析 （1）运用平面几何中等腰三角形的三线合一，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，运用平面几何中有关性质，以及线面垂直和面面垂直的性质，可得∠EDF就是ED与面BCD所成的角．运用直角三角形的知识，计算可得CE；
（法2）以D为坐标原点，以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设CE=x，求出E的坐标，运用法向量，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求；
（3）将原图补形成正方体，由AC=$\sqrt{2}$，可得正方体边长为1，可得外接球的直径即为正方体的对角线长，由球的表面积公式，计算即可得到所求．
解答 
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，
且O为中点，
∴BC⊥AO，BC⊥DO，
∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，
又BC?面ABC
∴平面BCD⊥平面AOD…（3分）
（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，
则平面BCD∩平面AOD=HD，则AH⊥平面BCD，
在Rt△BCD中，$OD=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在Rt△ACO中，$AO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
在△AOD中，$cos∠ADO=\frac{{A{D^2}+O{D^2}-A{O^2}}}{2AD•OD}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$sin∠ADO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，在Rt△ADH中AH=ADsin∠ADO=1，
设$CE=x（0≤x≤\sqrt{2}）$，作EF⊥CH于F，平面AHC⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角．
由$\frac{EF}{AH}=\frac{CE}{AC}$，∴$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$（※），
在Rt△CDE中，$DE=\sqrt{C{E^2}+C{D^2}}=\sqrt{{x^2}+1}$，
要使ED与面BCD成30°角，只需使$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}=\frac{1}{2}$，
∴x=1，当CE=1时，ED与面BCD成30°角…（9分）
（法2）在解法1中接（※），以D为坐标原点，
以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，
以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系
则$D（0，0，0），E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}x，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}x）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}x，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}x）$，
又平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow n=（0，0，1）$，要使ED与面BCD成30°角，
只需使$\overrightarrow{DE}与\overrightarrow n$成60°，
只需使$\frac{{|{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{DE}}|•|{\overrightarrow n}|}}=cos{60°}$，即$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}=\frac{1}{2}$，∴x=1，
当CE=1时ED与面BCD成30°角；
（3）将原图补形成正方体，由AC=$\sqrt{2}$，可得正方体边长为1，
则外接球的直径为$\sqrt{3}$，即半径$r=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
表面积：S=4πr2=3π…（12分）
点评 本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定，考查线面角的求法，注意运用线面角的定义和向量法，考查三棱锥的外接球的表面积，注意运用割补思想，考查运算和推理能力，属于中档题．
| A． | 若a•3=b•3，则a=b类比推出 若a•0=b•0，则a=b | |
| B． | 若（a+b）c=ac+bc类比推出 $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$（c≠0） | |
| C． | 若（a+b）c=ac+bc类比推出 （a•b）c=ac•bc | |
| D． | 若（ab）n=anbn类比推出 （a+b）n=an+bn |
某中学选取20名优秀同学参加2015年英语应用知识竞赛，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．
已知图中∠AOC+2∠BOC=π，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，BC∥OA，P为图中的阴影中（含边界）任意点，并且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OC}$，下列正确的是①③⑤