题目内容
12．已知函数$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x$，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为$f（x）=2cos（2x-\frac{π}{3}）$；
②当$x=kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）时，函数取得最大值为2；
③若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=0，则${x_1}-{x_2}=\frac{kπ}{2}（k∈Z且k≠0）$；
④函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称；
其中正确命题的序号是①②③④（把你认为正确命题的序号都填上）．
分析 由条件利用辅助角公式，余弦函数的图象和性质，得出结论．
解答 解：∵函数$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x$=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
故①正确；
∵当$x=kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值为2，故②正确；
若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=0，则x1和x2为函数f（x）的零点，x1和x2相差半个周期的整数倍，
即${x_1}-{x_2}=\frac{kπ}{2}（k∈Z且k≠0）$，故③正确；
当x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）=2cosπ=-2，为函数的最小值，故函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称，
故④正确，
故答案为：①②③④．
点评 本题主要考查辅助角公式，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
练习册系列答案
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2．已知角α的终边经过点（-6，8），则cosα=（ ）
| A． | $\frac{4}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $-\frac{3}{5}$ | D． | $-\frac{4}{5}$ |
17．
如图，函数$y=\frac{1}{x}$、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）可能是（ ）
如图，函数$y=\frac{1}{x}$、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）可能是（ ）| A． | y=x2 | B． | $y=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$ | C． | $y={x^{\frac{1}{2}}}$ | D． | y=x-2 |