Question

1．已知u、v∈R，关于x的方程x²+（u+vi）x+1+ui=0至少有一个实数根，求u的最小正值，并求出此时v的值及方程的根．

Answer 1

分析 u、v∈R，关于x的方程x²+（u+vi）x+1+ui=0即（x²+ux+1）+（vx+u）i=0至少有一个实数根，可得x²+ux+1=0，vx+u=0．化为u²=$\frac{{v}^{2}}{v-1}$=（v-1）+$\frac{1}{v-1}$+2，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵u、v∈R，关于x的方程x²+（u+vi）x+1+ui=0即（x²+ux+1）+（vx+u）i=0至少有一个实数根，
∴x²+ux+1=0，vx+u=0．
∴u²=$\frac{{v}^{2}}{v-1}$=（v-1）+$\frac{1}{v-1}$+2≥2$\sqrt{（v-1）•\frac{1}{v-1}}$+2=4，当且仅当v=2时取等号（v＞1），此时u的最小正值为2．
∴方程化为：x²+2x+1=0，x+1=0，解得x=-1．

点评 本题考查了复数的运算性质、基本不等式的性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．