Question

7．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx）其中ω＞0，若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$的图象上相邻两对称轴间得距离为2π
（1）求方程f（x）-$\frac{\sqrt{6}}{4}$=0在区间[0，17]内的解；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求sinx；
（3）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的值域．

Answer 1

分析 （1）由数量积的坐标表示结合倍角公式、两角和的正弦化简f（x）的解析式，再由已知求得ω，最后求解三角方程得答案；
（2）由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，得$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，进一步得$1-2si{n}^{2}（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，转化为倍角的余弦求解；
（3）由已知等式结合正弦定理求得B，由三角形内角和定理得到A的范围，则函数f（A）的值域可求．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}-\frac{1}{2}=sinωxcosωx+co{s}^{2}ωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$，
∵函数f（x）的图象上相邻两对称轴间得距离为2π，
∴$\frac{T}{2}=2π$，T=$\frac{2π}{2ω}$，得$ω=\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$，
由f（x）-$\frac{\sqrt{6}}{4}$=0，得$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}+2kπ$，或$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$．
在区间[0，17]内的解为$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}，\frac{25π}{6}，\frac{29π}{6}$；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
得$1-2si{n}^{2}（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∴cos（x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
得sinx=$-\frac{1}{2}$；
（3）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得cosB=$\frac{1}{2}$，则B=$\frac{π}{3}$，
∴A∈（0，$\frac{2π}{3}$），则$\frac{A}{2}+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}）$，
故函数f（A）的值域为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量的数量积运算，考查余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．