Question

（本小题满分12分）
如图， 在四面体ABOC中, , 且.

（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）在平面内作交于，连接。

又，　
，。
取为的中点，则。
 在等腰　中，，

在中， ，
在中， ，  .
（Ⅱ）连接 ，由，知：.

又，
又由，.
是在平面内的射影.
在等腰中，为的中点，
根据三垂线定理，知： ,
为二面角的平面角.
在等腰中，，
在中， ，中，.

解法二：（Ⅰ） 取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图）,则 , 为中点，

.
设  .


 即，。
所以存在点  使得  且.
（Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，
且，得， 故可取
又平面的法向量为 ..
二面角的平面角是锐角，记为，则.

略