Question

已知四面体P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=

1

2

AB．Q是PC上的一点．
（1）求证：平面PAD⊥面PBD；
（2）当Q在什么位置时，PA∥平面QBD？

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出AD⊥BD，PB⊥AD，从而得到AD⊥平面PBD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD．
（2）当PQ=2QC时，PA∥平面QBD．连结AC交BD于点O，连接OQ，由已知条件得AO=2OC，所以由AP∥OQ，得到PQ=2QC．

解答： （1）证明：∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=

1

2

AB，
设BC=1，则AD=BD=

2

，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又PB⊥平面ABCD．∴PB⊥AD
又因为BD，PB在平面PBD内，且BD与PB相交，
∴AD⊥平面PBD
又AD?面PAD，
∴平面PAD⊥平面PBD．…（6分）
（2）解：当PQ=2QC时，PA∥平面QBD．
证明如下，连结AC交BD于点O，连接OQ，
∵2CD=AB，CD∥AB，∴AO=2OC
过PA的平面PAC∩平面QBD=OQ，
∵PA∥平面QBD，∴AP∥OQ，∴PQ=2QC．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判断，考查直线与平面平行时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．