Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

1

2

sin（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

），从而可求f（x）的最小正周期；
（2）x∈[0，

π

2

]，则2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的单调性质可求得f（x）在[0，

π

2

]上的最大值与最小值．

解答： （本小题满分13分）
解：（1）f（x）=sinxcosx-

1

2

sin（2x-

π

3

）=

1

2

sin2x-

1

2

（sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

）=

1

2

sin2x-

1

4

sin2x+

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x+

π

3

）
则f（x）的最小正周期为π．…（7分）
（2）因为x∈[0，

π

2

]，则2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]．
所以

1

2

sin（2x+

π

3

）∈[-

3

4

，

1

2

]．
则f（x）在[0，

π

2

]，上的最大值为

1

2

，此时2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

．
f（x）在[0，

π

2

]，上的最小值为-

3

4

，此时2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

．…（13分）

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的最值，属于中档题．