Question

【题目】已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设不过原点的直线与曲线交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）,点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含左右顶点）.利用定义法求点轨迹方程，利用求出点的轨迹的方程即可.

（Ⅱ）设直线的方程为与点的轨迹的方程联解，利用根与系数关系与直线的斜率依次成等比数列建立方程求出，再求出弦长与.点到直线的距离.运用三角形面积公式建立关于的表达式求出最值.

（Ⅰ）已知，所以，点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含左右顶点）.

因为，，，所以，，.

所以，点的轨迹方程为.

设，.由得，，又.

故，点的轨迹的方程为，即.

（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为，

故可设直线的方程为，，，

由，消去得，

则，

即，且，，

故.

∵直线的斜率依次成等比数列，

∴，

即，又，所以，即.

由，及直线的斜率存在，得，

∵，点到直线的距离

.

，当时取等号，

此时直线的方程为，的最大值为.