Question

【题目】已知三棱台的下底面是边长为2的正三角形，上地面是边长为1的正三角形.在下底面的射影为的重心，且.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理及性质证明，或者建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0证明；

（2）运用综合法求直线与平面所成的角应先确定该平面的垂线，即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.

解法一：（1）证明：记的重心为，连接并延长交于点.

因为底面为正三角形，则，

又点在底面上的射影为，

所以平面，则，

因为，所以平面，

又平面，所以.

又，且，

所以平面，

因此，平面.

（2）由于为棱台，

设三侧棱延长交于一点.

因为，

则，分别为棱，的中点.

又为正的重心，

则，，.

因为平面，

则，

故在中，，

由三角形相似，得，

.

取的中点，连接，，

则∥，且，

故平面，

即即为直线与平面所成的角.

又，

且，，，

所以，，

又，所以，

即，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：以重心为原点，直线，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，

设，则，

，.

（1）证明：由，

即得，

即，

故，

又，

所以平面.

（2）由，

得，

所以.

设平面的法向量为，

因为，，

所以有，

令，则，所以.

设直线与平面所成的角为，

则.