Question

【题目】椭圆C：的离心率为，其右焦点到椭圆C外一点的距离为，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的长度为2．

1求椭圆C的方程；

2求面积S的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

分析：（1）由离心率、两点间距离公式、椭圆系数关系可列方程组，即可求得结果；

（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，求得弦长，再求出原点到直线的距离，根据三角形求面积的方法求得面积表达式，由二次函数性质可得三角形面积的最大值.

详解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为，则由题意得

得 或 （舍去）

所以椭圆方程为．

(Ⅱ)：因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，直线不过原点，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为（），

由 消去，并整理，得.

设，，又,

所以，

因为,所以，即

所以，即，

因为，所以．又点到直线的距离，因为 ，所以 　

所以，即的最大值为 ．