题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，并且经过点
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）一条斜率为
的直线交椭圆于
，
两点（不同于
），直线
和
的斜率分别为
，
，满足
，试判断直线
是否经过定点，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）由题意得：
，把点
代入椭圆方程，即可得出椭圆的标准方程.
（2）设直线
，由
，再运用根与系数的关系，即可得出答案.
（1）由题意得：
，又因为点在椭圆
上，所以
，
解得
，所以椭圆方程为：.
（2）设
，直线方程为
因为，所以
化简得：
直线与椭圆联立:
得
把②代入①得：
或
当时，直线方程为
此时直线恒过点
，又因为直线交椭圆于
，
两点（不同于
），
故该种情况不成立.
当
时，直线方程为
此时直线恒过点
综上所述，直线恒过点
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