Question

【题目】已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定点

【解析】

（1）设，根据题意可得，结合椭圆的方程化简可得，再由即可求解.

（2）根据设直线和的方程分别为和，将直线方程与椭圆方程联立求出、，设轴上存在一定点，使得成立，则，利用两点求斜率化简即可求得.

解：（1）设，

，，

则.

椭圆的标准方程为.

（2）由（1）可知左顶点，且过点的直线和的斜率存在，

设直线和的方程分别为和，

设，

联立，

直线和椭圆交于两点，

，

，

同理.

设轴上存在一定点，使得成立，则，

，则

，

，

即，解得.

因此轴上存在一定点，使得成立.