Question

16．在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{1}{4}$，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意建立平面直角坐标系，得到B，C的坐标，再设出P，A的坐标，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{1}{4}$求得P的横坐标，代入$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$得答案．

解答 解：如图，
以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则C（1，0），B（-1，0），
设A（0，n），P（m，0），则$\overrightarrow{PA}=（-m，n），\overrightarrow{PC}=（1-m，0）$，$\overrightarrow{PB}=（-1-m，0）$．
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{1}{4}$，得-m（1-m）=-$\frac{1}{4}$，解得：$m=\frac{1}{2}$．
∴${m}^{2}-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用坐标法求数量积，是中档题．