Question

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.

Answer 1

（1）+=1  （2）2  (x+)²+y²=6,(x-)²+y²=6

解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e²+=1,
又e=,故b²==8,从而a²==16.
故该椭圆的标准方程为+=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x₀,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|²=(x-x₀)²+y²=x²-2x₀x++8×（1-）=(x-2x₀)²-+8(x∈[-4,4]).
设P(x₁,y₁),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,
因此,当x=x₁时|QM|²取最小值,
又x₁∈(-4,4),所以当x=2x₀时|QM|²取最小值,
从而x₁=2x₀,且|QP|²=8-.
由对称性知P′(x₁,-y₁),故|PP′|=|2y₁|,
所以S=|2y₁||x₁-x₀|
=×2|x₀|
=
=·.
当x₀=±时,△PP′Q的面积S取得最大值2.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,
因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)²+y²=6,(x-)²+y²=6.