题目内容

1．证明：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实根的充要条件为a≤1．

分析 对a分类讨论，利用一元二次方程有实数根与判别式的关系即可得出．

解答 证明：a=0时，方程化为2x+1=0，解得x=$-\frac{1}{2}$，满足条件．
a≠0时，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实根的充要条件为△=4-4a≥0，解得a≤1，a≠0．
综上可得：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实根的充要条件为a≤1．

点评 本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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11．在△ABC中，内角为A，B，C，若sinA=sinCcosB，则△ABC的形状一定是直角三角形．
12．若|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影等于-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
9．在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=$\sqrt{3}$，则$\frac{a-2b+c}{sinA-2sinB+sinC}$的值等于（　　）
A．$\frac{{2\sqrt{39}}}{3}$B．$\frac{26}{3}\sqrt{3}$C．$\frac{8}{3}\sqrt{3}$D．$2\sqrt{3}$
16．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C=90°，则该椭圆的离心率是$\sqrt{2}-1$．
6．若函数$f（x）=\sqrt{5}sin（2x+ϕ），0＜ϕ＜π$对任意x满足$f（\frac{π}{3}-x）=f（\frac{π}{3}+x）$．
（1）求φ的值；
（2）若$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的最值及其相应x值．
13．已知α是第三象限角且$|{cos\frac{α}{3}}|=-cos\frac{α}{3}$，则$\frac{α}{3}$角是（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知对任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＜0时，导函数分别满足f′（x）＞0，g′（x）＜0，则x＞0时，成立的是（　　）
A．f′（x）＞0，g′（x）＜0B．f′（x）＞0，g′（x）＞0C．f′（x）＜0，g′（x）＜0D．f′（x）＜0，g′（x）＞0
11．求下列函数的导数：
（1）y=（x+1）2（x-1）； 
（2）y=x2sin x； 
（3）y=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$
（4）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-2}$．

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