题目内容
设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B(0，
)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=
，直线l：y=x+1与椭圆交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦MN的长．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦MN的长．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B(0，
)，求出b，利用离心率e=
，求出a，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=x+1，代入椭圆方程3x2+4（x+1）2=12，设M（x1，y1），N（x2，y2），求出|x1-x2|，即可求弦MN的长．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（2）直线l：y=x+1，代入椭圆方程3x2+4（x+1）2=12，设M（x1，y1），N（x2，y2），求出|x1-x2|，即可求弦MN的长．
解答：
解：（1）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B(0，
)，
∴b=
，
∵离心率e=
，
∴
=
，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（2）直线l：y=x+1，代入椭圆方程3x2+4（x+1）2=12，
整理可得7x2+8x-8=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=-
，
∴|x1-x2|=
=
，
∴|MN|=
•
=
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
∴b=
| 3 |
∵离心率e=
| 1 |
| 2 |
∴
| ||
| a |
| 1 |
| 2 |
∴a=2，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）直线l：y=x+1，代入椭圆方程3x2+4（x+1）2=12，
整理可得7x2+8x-8=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
∴|x1-x2|=
|
12
| ||
| 7 |
∴|MN|=
| 2 |
12
| ||
| 7 |
| 24 |
| 7 |
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如图所示，F1、F2分别为椭圆C：