Question

9．如图，矩形ABCD满足AB=3，AD=2，E，F分别是AB，DC上的点，且EF∥AD，AE=1．将四边形AEFD沿EF折起，形成了三棱柱ABE-DCF，若折起后的CD=$\sqrt{5}$．
求证：
（1）CF⊥平面AEFD；
（2）平面AEC⊥平面DFB．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理证明CF⊥DF，结合CF⊥EF，DF∩CF=F，证明CF⊥平面AEFD；
（2）证明DF⊥平面EFC，可得DF⊥EC，结合EC⊥BF，证明EC⊥平面DFB，即可证明平面AEC⊥平面DFB．

解答 证明：（1）由题意，△DFC中，DF=1，CF=2，CD=$\sqrt{5}$．
∴DF²+CF²=CD²，
∴CF⊥DF，
∵CF⊥EF，DF∩CF=F，
∴CF⊥平面AEFD；
（2）∵EB=EF=2，
∴BEFC是正方形，
∴EC⊥BF，
∵DF⊥EF，DF⊥CF，EF∩CF=F，
∴DF⊥平面EFC，
∴DF⊥EC，
∵BF∩DF=F，
∴EC⊥平面DFB．
∵EC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面DFB．

点评 本题考查直线与平面、平面与平面的垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确证明直线与平面垂直是关键．