Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer 1

　(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，

∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，

即f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax²－(2＋4a)x＋3a.①

由f(x)＋6a＝0，得

ax²－(2＋4a)＋9a＝0.②

∵方程②有两个相等的根，

∴Δ＝[－(2＋4a)]²－4a·9a＝0，

即5a²－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.

由于a<0，故舍去a＝1，将a＝－代入①，

得f(x)＝－x²－x－.

(2)f(x)＝ax²－2(1＋2a)x＋3a

＝

由a<0，可得f(x)的最大值为－>0，

由

解得a<－2－或－2＋<a<0.

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．