Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．

(1)函数f(x)＝x是否属于集合M？说明理由；

(2)设f(x)∈M，且T＝2，已知当1<x<2时，f(x)＝x＋lnx，当－3<x<－2时，求f(x)的解析式．

Answer 1

 (1)假设函数f(x)＝x属于集合M，则存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即x＋T＝Tx成立．令x＝0，得T＝0，与题目矛盾．故f(x)∉M.

(2)f(x)∈M，且T＝2，则对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)．

设－3<x<－2，则1<x＋4<2.

又f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)，

且当1<x<2时，f(x)＝x＋lnx，

故当－3<x<－2时，f(x)＝[x＋4＋ln(x＋4)]．