Question

（本题满分12分）设动点到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设圆过，且圆心在的轨迹上，是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长是否为定值？说明理由；

（3）过做互相垂直的两直线交曲线于，求四边形面积的最小值．

Answer 1

（1）;（2）见解析；（3）8

【解析】

试题分析：（1）求动点的轨迹方程的一般步骤：1．建系——建立适当的坐标系．2．设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．3．列式——列出动点P所满足的关系式．4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．本题可以建系，但细心一点就可发现满足抛物线定义；（2）解决定值问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证．本小题属于第二类；（3）最值、范围问题解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．

试题解析：（1） 由题意知，所求动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为； 2分

（2）设圆心，半径

圆的方程为 4分

令得

即弦长为定值； ．．6分

（3）设过F的直线方程为 ,

由得 ．．8分

由韦达定理得

同理得

四边形的面积 12分

考点：圆锥曲线定值最值综合及应用．