Question

2．若函数f₁（x），f₂（x）满足${∫}_{-a}^{a}$f₁（x）•f₂（x）dx=0（a＞0），则称f₁（x），f₂（x）是区间[-a，a]上的一组Γ函数，给出下列四组函数：
①f₁（x）=x²，f₂（x）=x+1；
②f₁（x）=cosx，f₂（x）=tanx；
③f₁（x）=2x-1，f₂（x）=2x+1；
④f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx．
其中是区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的Γ函数的组数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．

解答 解：对于①，f₁（x）f₂（x）=x²（x+1）=x³+x²，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$（x³+x²）dx=（$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{12}$≠0，故不是Γ函数，
对于②，f₁（x）f₂（x）=cosxtanx=sinx，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$sinxdx=-cosx|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=0，故是Γ函数，
对于③，f₁（x）f₂（x）=4x²-1，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$（4x²-1）dx=（$\frac{4}{3}$x³-x）|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{12}$≠0，故不是Γ函数，
对于④，f₁（x）f₂（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$f₁（x）•f₂（x）dx=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$sin2x）dx=-sin2x|${\;}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$=-（sin1+sin1）=-2sin1≠0，故不是Γ函数，
故选：B．

点评 本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于中档题．