Question

【题目】已知.

（1）证明在处的切线恒过定点；

（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先对函数求导，将代入导函数中可得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程化简得，从而可知切线恒过点；

（2）若有两个极值点，则有两个不同的正根，即有两个零点，也就是的图像与轴有两个交点，然后对求导，讨论导函数的正负，从而可求出单调区间，进而可得到的取值范围

（1）∵，所以

又因为，

所以在处的切线方程

即

所以在处的切线恒过定点.

（2）∵，其中，

设，

则，

当时，，

则在单调递增，

在上至多有一个零点，

即在上至多有一个零点，

∴至多只有一个极值点，不合题意，舍去.

当时，设，，

∴，∴在上单调递减，

∵，，

∴，使得，即2，

当时，，此时，

∴在单调递增，

当时，，此时，

∴在单调递减，

∴在有极大值，

即

若，则，

∴，在单调递减，不合题意，

若，

设，，

∴在单调递增，

又，∴，

∵，

∴在单调递增，

∴，即，

此时，

∵，

在单调递增，

，使得，

当时，，

∴，在上单调递减，

当时，，

∴，在上单调递增，

∴在处取得极小值.

又∵，

∴

∵在单调递减，，

又∵，∴，

∴，使得，

当时，，

∴，在上单调递增，

当时，，

∴，在上单调递减，

∴在处取得极大值.

综上所述，若有两个极值点，则实数的取值范围为.