Question

【题目】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）在（1）中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任意一点为，当点到直线的距离取最大值时，求此时点的直角坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

（1）由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线的参数方程中消去参数可将直线的参数方程化为普通方程；

（2）利用伸缩变换求得曲线的普通方程，进而可得出曲线的参数方程，设点，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点到直线的距离的最大值，并求出对应的点的坐标.

（1）将曲线的极坐标方程化为，由，

所以，曲线的直角坐标方程为.

在直线的参数方程中消去参数得，

所以，直线的普通方程为；

（2）由伸缩变换得带入圆的方程得，

化简得曲线，其参数方程为（为参数，且），

设点，

点到直线距离为：

，

，则，所以，当时，即当时，

取最大值，即，

此时，点的坐标为.