Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的极值．

（2），若不等式在上恒成立，求的最大值．

（3）是否存在实数，使得函数在上的值域为？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）极大值没有极小值；（2）最大值为；（3）存在，见解析

【解析】

（1）先求出，令，再列表讨论的单调区间，进而可求出函数的极值；（2）根据不等式构造函数，求导并判断单调性，进而可求出的最大值；

（3）由（1）知，当时，，得，结合函数的单调性可猜想，存在实数符合题意，其中，为的图象与直线在上的交点的横坐标，再证明在上只有一个实数解即可．

（1），其定义域为，

求导得．

令，得．

的关系列表如下：

		1
	+	0
	↗	极大值	↘

因此，当时，取得极大值没有极小值．

（2），

因为在上恒成立，

所以在上恒成立，

设，

则原问题转化为在上恒成立．

，

令，解得．

的关系列表如下：

	+	0
	↗	极大值	↘

所以只需，故的最大值为．

（3）存在实数，满足题意.

证明如下：

由（1）知，当时，，

所以，即，注意到在上单调递减，

结合函数的单调性可猜想，存在实数符合题意，其中，为的图象与直线在上的交点的横坐标．

故只需证明方程在上只有一个实数解．

令，则，

令，得，因为，所以只有成立.

的关系列表如下：

	+	0
	↗	极大值	↘

因为，所以当时，，

又，

所以存在，使得，满足，

因为函数在上单调递减，所以方程在上只有一个实数解．

综上所述，存在实数，使得函数在上的值域为．