Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）设两极值点分别为，，且，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导，根据题意可知方程在上有两个不同的实数根，可以转化为两个函数图象的交点的个数问题，构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性及极值进行求解即可；

（2）要证成立，只需证成立，结合（1），即证成立，利用换元法，构造新函数，对新函数进行求导，根据新函数的单调性进行证明即可.

（1）∵函数的定义域为，

∴方程在上有两个不同的实数根，

即函数与的图象在上有两个不同的交点．

又∵，∴当时，；当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

∴极大值．

又∵有且只有一个零点1，且当时，；当时，．

∴要想函数与函数的图象在上有两个不同的交点，只需．

（2）∵要证成立，∴只需证成立，

∵由（1）知，是方程的两个根，即，，

∴，

∵，∴，

又∵，，作差得，即，

∴，∴当时，要证成立，

即证成立，令，，

即证在上恒成立，

令，∴，

∴当时，，∴函数在上单调递增，

又∵，∴，在上恒成立，

∴原不等式成立，即当时，成立．