Question

5．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂x]=3成立，若方程f（x）-f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=1．

Answer 1

分析 设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{ln2•x}$，
将f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-$\frac{1}{xln2}$=2，
即log₂x-$\frac{1}{xln2}$=0，
令h（x）=log₂x-$\frac{1}{xln2}$，
分析易得h（1）=$\frac{1}{ln2}$＜0，h（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$＞0，
则h（x）=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零点在（1，2）之间，
则方程log₂x-$\frac{1}{xln2}$=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故答案为：1．

点评 本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．