Question

17．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的图象如图所示．
（1）根据图象写出f（x）的解析式；
（2）A为锐角三角形的一个内角，求f（A）的最大值，及当f（A）取最大值时A的值．

Answer 1

分析 （1）由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（-$\frac{π}{6}$，0），求出φ，从而得到f（x）的解析式．
（2）通过角A是锐角三角形的一个内角的范围，求出表达式f（A）的相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由函数图象可得：A=2，$\frac{3}{4}T=\frac{7π}{12}-（-\frac{π}{6}）=\frac{3π}{4}，T=π$，
∴可得：ω=2，
∵$x=-\frac{π}{6}$时，2sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]=0，由五点作图法可得：$2（-\frac{π}{6}）+φ=0$，
∴$φ=\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（6分）
（2）∵$A∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2A+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}）$，
∴可得：f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$），
当且仅当$2A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}，A=\frac{π}{12}$时f（A）最大，f（A）_max=2．…（12分）

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查正弦函数的图象和性质，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．