Question

已知函数f（x）=（x-e）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足条件：（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1．
①求m的值；
②若点P（m，f（m）），判断A，B，P三点是否可以构成直角三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数和切线的斜率，及切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ）①求出导数，讨论当0＜x＜e时，当x＞e时，导数的符号，即可判断极值点，求出P点；
②讨论若x₁=e，若x₁=x₂，与条件不符，从而得x₁≠x₂．计算向量PA，PB的数量积，即可判断PA⊥PB．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=lnx-

e

x

，f'（1）=-e，又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-1）=-e（x-1），
即ex+y-2e+1=0．  
（Ⅱ）①对于f′(x)=lnx-

e

x

，定义域为（0，+∞）．
当0＜x＜e时，lnx＜1，-

e

x

＜-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＜0；
当x=e时，f'（x）=1-1=0；
当x＞e时，lnx＞1，-

e

x

＞-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＞0
∴f（x）存在唯一的极值点e，∴m=e，则点P为（e，0）
②若x₁=e，则（1-lnx₁）（1-lnx₂）=0，与条件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1不符，
从而得x₁≠e．同理可得x₂≠e．
若x₁=x₂，则(1-lnx1)(1-lnx2)=(1-lnx1)2≥0，
与条件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1不符，从而得x₁≠x₂．
由上可得点A，B，P两两不重合．

PA

•

PB

=(x1-e，f(x1))•(x2-e，f(x2))
=（x₁-e）（x₂-e）+（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁-1）（lnx₂-1）
=（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁lnx₂-lnx₁x₂+2）=0
从而PA⊥PB，点A，B，P可构成直角三角形．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求极值，考查运用向量的数量积为0，证明线段垂直的方法，属于中档题．