Question

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.
（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；
（3）设，，求的值.（用表示）

Answer 1

（1），，；（2）；（3）．

试题分析：（1）根据使得成立的的最大值为，，则，，则，，则，这样就写出，，的值；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出的值．
（1） ，，.                                       3分
（2）由题意，得，
结合条件，得.                                       4分
又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，.                                     5分
设，则.
假设，即，
则当时，；当时，.
所以，.
因为为等差数列，
所以公差，
所以，其中.
这与矛盾，
所以.                                                     6分
又因为，
所以，
由为等差数列，得，其中.                          7分
因为使得成立的的最大值为，
所以，
由，得.                                              8分
（3）设，
因为，
所以，且，
所以数列中等于1的项有个，即个；                 9分
设，
则， 且，
所以数列中等于2的项有个，即个；                 10分
以此类推，数列中等于的项有个.                  11分
所以


.
即.                                  13分