Question

8．已知数列{a_n}是各项均为正的等比数列，a₁=2，a₂+a₃=24；数列{b_n}是公差不为0的等差数列，b₁，b₂，b₅成等比数列，b₁+b₂+b₅=13．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q（q＞0），由a₂+a₃=24得：2q+2q²=24，
解得：q=3或q=-4（舍去），
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$，
设数列{b_n}的公差为d（d≠0），由已知，$\left\{\begin{array}{l}{（{b_1}+d）^2}={b_1}（{b_1}+4d）\\ 3{b_1}+5d=13\end{array}\right.$，
解得：d=0（舍去）或d=2，这时b₁=1，
∴b_n=2n-1，
（2）：设数列{a_n}的前n项和为T_n，则${T_n}=\frac{{2（1-{3^n}）}}{1-3}={3^n}-1$，
设数列{b_n}的前n项和为L_n，则${L_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$，
∴${S_n}={T_n}-{L_n}={3^n}-{n^2}-1$．
另解：S_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）=$\frac{{2（1-{3^n}）}}{1-3}-\frac{n（1+2n-1）}{2}={3^n}-{n^2}-1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．