Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）设向量$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{q}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，求向量$\overrightarrow{p}$在$\overrightarrow{q}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算法则计算即可，
（2）根据向量的投影的定义即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow{b}$|²-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos30°=4+12-12=4，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2，
（2）由（1）知|$\overrightarrow{q}$|=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=2，
∵$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²=4-12=-8，
∴向量$\overrightarrow{p}$在$\overrightarrow{q}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{-8}{2}$=-4．

点评 本题考查平面向量的数量积的性质和运算律的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．