Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an+1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=2a_n-1+1，由此能证明数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出an=2n-1．
（2）b_n=

an+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-n，
∴n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-（2a_n-1-n+1）
=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2n，
∴an=2n-1．
（2）∵b_n=

an+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=

1

2-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

=

2n+1-2

2n+1-1

．
∴数列{b_n}的前n项和为

2n+1-2

2n+1-1

．

点评：本题考等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用．