Question

【题目】设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在直线为满足题意，详见解析

【解析】

（Ⅰ）根据对称性求出点，从而可得出椭圆两焦点的坐标，利用椭圆定义求出的值，结合的值，可求出的值，从而写出椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线的方程为，可得出直线的方程为，设，， 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得出有关的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线的方程与椭圆的方程联立可得出点的坐标，由已知条件得出线段与的中点重合，从而可得出有关的方程，求出的值，即可得出直线的方程．

（Ⅰ）解：由点和关于点对称，得，

所以椭圆E的焦点为，，

由椭圆定义，得 .

所以 ，.

故椭圆的方程为；

（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平行.

理由如下：

由题可知直线，直线的斜率存在，

设直线的方程为，直线的方程为

由，消去

得，

由题意，可知 ，设，，

则，，

由消去,

得，

由，可知，设，又，

则

若四边形的对角线互相平行，则与的中点重合，

所以，即

故

所以

解得，

所以直线为，四边形的对角线互相平分．