Question

【题目】如图，平面，，点分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到；

（Ⅱ）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（Ⅲ）设，则，从而，

由（Ⅱ）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．

（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.

由点和分别为和的中点，可得且，

因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，

所以.

（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.

依题意可得，

.

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得.

，于是.

所以，二面角的正弦值为.

（Ⅲ）设，即，则.

从而.

由（Ⅱ）知平面的法向量为，

由题意，，即，

整理得，解得或，

因为所以，所以.