Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，是棱上的一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，是的中点，，，且二面角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）或4

【解析】

(1)先证明,结合,推出平面,再根据面面垂直的判定定理证明出结论;

(2)以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,利用向量法结合夹角公式建立的关系式,求解即可.

(1)因为平面,平面,所以,

又,,

所以平面,

又平面,所以平面平面;

(2)以为原点,,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系:

则,,,,,,

由(1)知平面,故,

又是的中点,,

,且,

∴平面,

∴平面的一个法向量为,

∵,

∴,

∴,

设平面的法向量为,

则且,

∴且,

∴,令,则,

∴平面的一个法向量,

∵二面角的正弦值为,

∴,

∴,

∴或4.