Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣x+ ，其中a＞0
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若f（x2）﹣f（x1）存在最大值，记为M（a）．则a≤e+ 时，M（a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ﹣1﹣ = ，x∈（0，+∞）， 由题意得，x2﹣ax+1=0在x∈（2，+∞）上有根（不为重根），
即a=x+ 在x∈（2，+∞）上有解，
由y=x+ 在x∈（2，+∞）上递增，得x+ ∈（ ，+∞），
检验，a＞ 时，f（x）在x∈（2，+∞）上存在极值点，
∴a∈（ ，+∞）；
（Ⅱ）若0＜a≤2，∵f′（x）= 在（0，+∞）上满足f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上递减，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，
∴f（x2）﹣f（x1）不存在最大值，则a＞2；
∴方程x2﹣ax+1=0有2个不相等的正实数根，
令其为m，n，且不妨设0＜m＜1＜n，
则 ，
f（x）在（0，m）递减，在（m，n）递增，在（n，+∞）递减，
对任意x1∈（0，1），有f（x1）≥f（m），
对任意x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（n），
∴[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），
∴M（a）=f（n）﹣f（m）=aln +（m﹣n）+（ ﹣ ），
将a=m+n= +n，m= 代入上式，消去a，m得：
M（a）=2[（ +n）lnn+（ ﹣n）]，
∵2＜a≤e+ ，∴ +n≤e+ ，n＞1，
由y=x+ 在x∈（1，+∞）递增，得n∈（1，e]，
设h（x）=2（ +x）lnx+2（ ﹣x），x∈（1，e]，
h′（x）=2（1﹣ ）lnx，x∈（1，e]，
∴h′（x）＞0，即h（x）在（1，e]递增，
∴[h（x）]max=h（e）= ，
∴M（a）存在最大值为 ．
【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，得到a=x+ 在x∈（2，+∞）上有解，由y=x+ 在x∈（2，+∞）上递增，得x+ ∈（ ，+∞），求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，得到[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），求出M（a）=f（n）﹣f（m）=aln +（m﹣n）+（ ﹣ ），根据函数的单调性求出M（a）的最大值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．