题目内容
19．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的点，在△PF1F2中，点Q满足$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=4$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，∠F1PF2=∠QF2F1，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）| A． | 0＜e＜$\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{1}{5}$＜e＜$\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{3}$＜e＜1 | D． | 0＜e＜$\frac{1}{5}$或$\frac{1}{3}$＜e＜1 |
分析 由题意可设|F1Q|=t，|F1P|=4t，运用三角形相似的判断和性质，可得t=c，由椭圆的性质可得a-c＜|F1P|＜a+c，运用离心率公式计算即可得到所求范围．
解答 解：由点Q满足$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=4$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，
设|F1Q|=t，|F1P|=4t，
在△F1PF2和△F1F2Q中，∠F1PF2=∠QF2F1，∠PF1F2=∠F2F1Q，
可得△F1PF2∽△F1F2Q，即有：
$\frac{{F}_{1}P}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{{F}_{1}Q}$，即$\frac{4t}{2c}$=$\frac{2c}{t}$，
可得t=c，由a-c＜|F1P|＜a+c，
可得a-c＜4c＜a+c，
即为a＜5c且a＞3c，
由e=$\frac{c}{a}$可得$\frac{1}{5}$＜e＜$\frac{1}{3}$．
故选：B．
点评 本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用三角形相似的性质，以及椭圆的点到焦点的距离的最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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10．过点（3，1）作圆（x-2）2+（y-2）2=4的弦，其中最短的弦长为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $2\sqrt{2}$ | C． | 3 | D． | 4 |
7．
如图，小于90°的二面角α-l-β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（ ）
如图，小于90°的二面角α-l-β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（ ）| A． | ∠A′OB′为钝角 | B． | ∠A′OB′＞∠AOB | ||
| C． | ∠AOB+∠AOA′＜π | D． | ∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π |
已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，$\frac{3}{2}$）时，△PF1F2的面积为$\frac{3}{2}$，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．
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（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；
（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．
| 分数（分数段） | 频数（人数） | 频率 |
| [60，70） | 9 | x |
| [70，80） | y | 0.38 |
| [80，90） | 16 | 0.32 |
| [90，100） | z | s |
| 合计 | p | 1 |
（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．